पुस्तकप्रेमी समूहाचे अखंड पुस्तक परिचय अभियान
आठवडा २८५ - दिनांक २३ .११.२०२५
पुस्तक क्रमांक -१९९५
पुस्तकाचे नाव – भारतीय गणितींची चरित्रे अर्थात
भारतीय गणिताचा जगात
गौरव
लेखक – श्याम मराठे
प्रकाशक – साहित्य प्रसार केंद्र , नागपूर
द्वितीय आवृत्ती – १० मे १९८९
परिचयकर्ता -
सुरेश देशपांडे
आज ज्या पुस्तकाचा मी परिचय करून देणार आहे ते एक
प्रचंड पुस्तक आहे आणि त्या पुस्तकाचा
परिचय करून देण्याचा प्रयत्न करतोय कारण या पुस्तकासंबंधी किती लिहू आणि काय लिहू
हा प्रश्न आहे. १० मे १९८९ या दिवशी हे
पुस्तक प्रसिद्ध झाले आणि मी ते २५ सप्टेंबर १९८९ या दिवशी खरेदी केले. (गणित हा विषय माझ्या आवडीचा म्हणून!)
नावाप्रमाणेच या पुस्तकात भारतीय गणितींची
चरित्रे आहेत परंतु मुख्य म्हणजे गणिताविषयी किंवा गणित म्हणजे काय अशी सुरुवात
करून लेखक श्याम मराठे गणिताविषयी एवढी मूलभूत माहिती देतात की आपण किती मोजणार
याचे गणितच करायचे विसरून जातो !
अनुक्रमणिकेतील काही विषय बघा. १) माणूस जेव्हा
‘मोजू’ लागला २) संख्येची जाण- गणित इतिहास! ३) हातापायांची बोटे ४) प्राचीन
भारतीय गणितींचे लेखन साहित्य ५) अंक -सुंदरीची विविध रूपे ६) ‘एकूण किती?’ ७) अंक लेखनकलेचे वेदकालीन ज्ञान ८) वेदकालीन
संख्याज्ञान ९) भारतीय दशमान पद्धती १०) भारताला गणितात ‘शून्य’ मिळाले! ११) भारत आणि गणित प्रतीके १२) पायथागोरस थेरम, छे! हे तर शुल्बसूत्र १३) ‘२’ या संख्येचे वर्गमूळ काढणे इत्यादी इत्यादी ... असे एकूण ३३
लेख आहेत . २७० पृष्ठांचे हे पुस्तक मी आता तिसरयादा वाचले तरीही सर्व समजले आहे असे नाही हे एक आणि जेवढे समजते आहे
ते लक्षात आणून वाचण्यासही जवळपास २० दिवस लागले !
गणित‘गम्य’ व्हायचे असेल तर प्रथम ते रम्य
व्हायला हवे ! गणित हे तर्कशास्त्राच्या सामर्थ्यावर उभे राहिले आहे. श्रवण, दृष्टी, गंध, स्पर्श, आणि चव अशी
पाचही इंद्रिये जेव्हा थिटी पडतात तेव्हा न कळलेल्या गोष्टींविषयी अनुमान करणे ,
निष्कर्ष काढणे असे ज्ञान, तर्कशक्ती माणसाला मिळवून देते.. उदाहरण
म्हणजे चंद्रावर जाण्यासाठी किती वेळ लागेल हे जाणण्यासाठी प्रत्यक्ष प्रवास करावा
लागत नाही तर ते गणिताने समजू शकते म्हणजेच तर्काने कळू शकते! गणिताच्या जागतिक इतिहासात भारतीय गणितींनी
अजरामर कार्य करून ठेवलेले आहे. गणित हे असे एक ज्ञानक्षेत्र आहे की ज्यात भारताला
एक खास अधिकार प्राप्त झाला आहे.
संख्यांची जाण अन् संख्याचिन्हे या दोन गोष्टी
पूर्णपणे वेगळ्या आहेत. आकडे म्हणजे
संख्यांना ठरवून दिलेली चिन्हे. आणि हे आकडे देश कालपरत्वे वेगळे असतात. आकडे
म्हणजे संख्या नव्हे ! आता ८ म्हणजे आठ या संख्येला दिलेले एक दृश्य रूप आहे पण
प्रत्यक्षात आठ ही केवळ एक कल्पनाच आहे कारण संख्या ही डोळ्यांना दिसत नाही. ती एक जाणीव आहे
विचारप्रवर्तक माहिती देत हे पुस्तक पुढे जाते
- भारतात करंगळीच्या बाजूचे बोट पूर्वी
हिशेबासाठी धरत नसत. ( अनामिका) त्त्रिमान, चतुर्मान पद्धत प्रचारात होती. पंजाची
पाचही बोटे धरून पंचमान पद्धतही अस्तित्वात होती. पुढे षष्ठमन पद्धती त्याही पुढे
दहाही बोटे धरून दशमान पद्धती क्रमप्राप्त होती. पण अंकगणना इथे थांबली नाही तर
प्रत्येक बोटाला तीन पेरे, अंगठ्याला दोन पेरे असे भरपूर उपभाग लक्षात आल्यावर द्वादशमान
पद्धत आली आणि माणूस द्वादश म्हणजेच बाराच्या प्रेमात पडला .... बारा राशी, बारा महिने, बारा ज्योतिर्लिंगे, घड्याळाचे बारा आकडे, बारा बलुतेदार इत्यादी! परंतु
त्यानंतर हे लक्षात आले की दशमान पद्धती ही अधिक सोयीची असल्याने गणना दशमानावर
स्थिरावली ! मग पुढे हाताच्या बोटावर माणूस ९९,९९९
पर्यंतच्या संख्येचे हिशेब करायला लागला ! ( त्याची अनेक उदाहरणे या पुस्तकात
आहेत. १४७ * ९ असे गुणाकार बोटांवर करता येतात! ( हे वाचून बोटे तोंडात { स्वत:च्याच } जातील!)
प्राचीन भारतीय गणितींचे लेखन साहित्य म्हणजे
ताडपत्र, भूर्जपत्र, पाटी-गणित,
फलकवांङमय, कौशेयपट, चर्मपट ताम्रपट, शिलालेख
इत्यादी. वृक्षाच्या सालीस तेल लावून, घोटून, हव्या त्या आकाराची पाने कापून घेता येतात. पानाच्या लांबी रुंदी इतक्या
आकराच्या लाकडी फळ्या पानांच्या खालीवर ठेवून मग एका बाजूस सलग भोके पडून त्यातून
दोरा ओवून म्हणजेच सूत्राने पोथी बांधणी होई.
हे अविनाशी साहित्य जर प्राचीन भारतीय गणितींनी उपयोगात आणले नसते तर आपण
फार मोठ्या सांस्कृतिक, ऐतिहासिक आणि वैचारिक वांङमयास मुकलो
असतो.
दशमान पद्धतीत पुढे संख्या लेखनात शब्दांक हा प्रयोग करण्यात आला. शब्दांकाच्याबाबतीतला
इतिहास आणि माहिती खूप आहे ती सर्व इथे देणे शक्य नाही. परंतु ही पद्धत भारतभर
वापरली जात होती. इ.स. ९४५ मधील एका दानपत्रात शब्दांकाचा वापर केला गेला आहे.
ऋग्वेदात १००० अष्टकर्णी गाई दान दिल्याचा उल्लेख
आहे म्हणजे वेदकाळात संख्या ज्ञान होते हे सिद्ध होते. आणि अंकलेखनाची पद्धतही
होती. गुणय (गुणाकार) विभज् ( भागाकार) परिणाह (परिघ) विष्कम्भ (व्यास) असे अनेक
शब्द अनेक वेळा आहेत. दशमान पद्धतीचा वापर वेदांत अनेक ठिकाणी आहे. युज.
वाज.संहितेमधून पुढीलप्रमाणे संख्या मिळतात. एक दश, शत, ..........अयुत (१०,०००) नियुत, प्रयुत, अर्बुद, न्युर्बुद, समुद्र, मध्य अंत, परार्ध
(आजच्या भाषेत एक लाख कोटी!) दशमान पद्धतीचे श्रेय भारताचे आहे असे जगातील अनेक
गणितींनी मोकळ्या मानाने मान्य केले आहे.
शून्याचा शोध लागल्यामुळे गणिताला पूर्णत्व आले
आणि संख्यांना त्या त्या ठिकाणच्या किमतीही लागू शकल्या आणि सगळेच सोपे झाले.
भारताबाहेर शून्याला अशी नावे होती. शून्य = निर्वात जागा, शून्य= सायफोस, शून्य =झेफिरो, शून्य= झिफ्रा
(याचेच पुढे झिरो झाले) हिंदू वांङमयात जसा गणिताचा उल्लेख आहे तसेच अनेक उल्लेख
जैन आणि बौद्ध वांङमयातही आहेत. थोडे पुढे
जाऊ, याच वेदकालीन गणितात यज्ञाच्या मांडणीचे शास्त्र दिले
असून यज्ञ कोणी कसा करावा याविषयी माहिती आहे,
भारतीय गणिताविषयी सिरीया, अरब ( सेबेरस ६६२, इब्न वहशिया ८५५,ज्याहीज ८६९, अल मसौडी ९४३ असे अनेक )
युरोपीय उल्लेख -आसोडोरस, रब्बी बेन एजरा, ल्योनार्डो,
अलेक्झांदर डे विला दाई, माग्सिसुस ) असे उल्लेख आहेत.
भारतीय गणिताला जगात हिंदसा गणित म्हणून ओळखले
जात होते आणि ते प्रथम अरबस्थानात तिथून स्पेन इटली आणि मग युरोपात पसरले. हे गणित
तिथे जाईपर्यंत त्या लोकांना गणित माहीत नव्हते असे नाही तर अनेक त्रुटी होत्या.
विशेषत: ‘वजा’ करणे या क्रियेसाठी चिन्ह
नव्हते. त्यासाठी ते क्वचित टिंब वापरात असत किंवा अंकाच्या डोक्यावर आडवी रेघ
मारली जात असे.
शुल्ब याचा अर्थ दोरी असा होतो आणि यज्ञवेदी
होमकुंड यांचे आकार निश्चित करणारे नियम म्हणजे सूत्र म्हणून शुल्बसूत्र !
आजमितीला फार थोडी शुल्बसूत्रे उपलब्ध आहेत. कात्यायन, बौधायन, आपस्तंभ, सत्यासंध , मानव, मैत्रायणीय, वरः, वाधुल अशी काही मोजकीच शुल्बसूत्रे उपलब्ध आहेत बाकीची नष्ट झाली.
आयताच्या कर्णाचा वर्ग = त्याच्या दोन संलग्न
बाजूंच्या वर्गाची बेरीज हा पायथागोरसचा सिद्धांत असे म्हटले जात असले तरी त्याचा
काल इ.स. पूर्व ५६८ ते ५०० असा होता तर शुल्बसूत्रांचा काळ इ.स. पूर्व ३०००
वर्षांचा आहे आणि ते शुल्बसूत्र असे आहे- “दीर्घस्याक्ष्णया रज्जु: पार्श्वमानी
तिर्यङमानी च यत्पृथग्भूते कुरूत स्तदुभयं
करोति” हे सूत्र भारतातून पर्शियात आणि तिथून ते
त्याच्यापर्यंत पोहोचले असावे असा समज आहे.
दोन या संख्यचे वर्गमूळ काढण्याचेही प्रयत्न
वेदकाळात झाले होते.त्याचे सविस्तर सोदाहरण विवेचन दिले आहे.
सर्वच शुल्बसूत्रांनी असा एक प्रयत्न केला की
वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतका चौरस किंवा चौरसाच्या क्षेत्रफळाइतके वर्तुळ कसे
काढायचे? यासाठी क्षेत्रफळ, व्यास आणि परीघ तसेच √२ ( २ चे वर्गमूळ) याची माहिती आवश्यक आहे.
या कूट प्रश्नाचेही साधार स्पष्टीकरण पुस्तकात गणितींची माहिती देताना दिली आहे.
प्राचीन भारतीय ज्योतिर्गणित आणि पंचांग गणित
याविषयीही सविस्तर माहिती देण्यात आली आहे. गणिताच्या इतिहासात ज्योतिर्गणित
गणितापासून वेगळे करता येणारच नाही अशा प्रकारे या दोन्ही शस्त्रांचा एकत्र प्रवास
झालेला आहे. वैदिक काळात चांद्रवर्ष आणि सौरवर्ष यातील भेद लक्षात घेऊन ‘अधिक मास’ धरण्याची व्यवस्था होती. वैदिक काल इ.स.पूर्व ५००० वर्षे इतका जुना मानला
जातो. इ.स.पूर्व ३००० या काळातील ऐतरीय ब्राह्मण ग्रंथात वर्षाचे सहा ऋतू, महिन्याचे शुक्ल आणि कृष्ण पक्ष तसेच सूर्य चंद्र बृहस्पती शुक्र आणि २७
नक्षत्रे यांचा उल्लेख आहे. हा फक्त ढोबळ उल्लेख आहे , त्यात
अजून खोल जाता येईल इतके ज्ञान आहे.
गणिताचा जन्म या भूमीत झाला हे सिद्ध करण्याची
गरज का पडावी ? याचे कारण मध्यंतरीच्या काळात आपले वैदिक
ज्ञान लुप्त झाल्याने आणि युरोपात १६ ते १९ व्या शतकात गणित शास्त्रात बरीच प्रगती
झाल्याने युरोपियांनी एक खोटाच गणेतिहास जगापुढे मांडला. त्यांच्या मते
ग्रीकांच्या आधी अंकगणित नव्हते, डायफांटसच्या आधी बीजगणित
नव्हते आणि पायथागोरसच्या आधी भूमिती नव्हती! पण हे त्यांचे सर्व दावे बखशाली
हस्तलिखित मिळाल्यामुळे फोल ठरले आहेत.
बखशाली हस्तलिखित इ.स. तिसऱ्या शतकातील असून भारताच्या उत्तर
पश्चिम सीमेवरील बखशाली (पेशावरजवळील मार्दन जिल्ह्यात) खेड्यात एका शेतकऱ्याला
पाण्यासाठी जमीन खोदताना सापडले. भूर्ज पत्रावर लिहिलेला हा ग्रंथ होता. एका जाडजूड
दगडाच्या त्रिकोणी आकाराच्या भिंती, खालीवर शिळा
ठेवून बंदिस्त केलेले असे पेटाऱ्यासारखे त्या शेतकऱ्याला सापडले. आत एक पोकळी होती
आणि ७० भूर्जपत्रे होती. या ग्रंथात गणिताविषयी प्रचंड माहिती आहे आणि हे जेव्हा
उघड झाले तेव्हा गणित विश्वात खळबळ माजली कारण तोपर्यंतचे गणित ज्ञान हे
इसवीसनानंतरचे होते आणि या हस्तलिखिताने ते ज्ञान त्याही आधीपासूनचे आहे हे
सांगितले!
पुढील प्रकरणात भारतात आर्यभट प्रथम याच्याविषयी
विस्तृत माहिती आली आहे.
सूर्य स्थिर असून पृथ्वी त्याच्या भोवती फिरते
असे सांगणारा आर्यभट पहिला !एका वर्षात ३६५.२५८ दिवस असतात हे त्याने सांगितले.
सूर्य पृथ्वी आणि चंद्र यांच्यातील अंतर त्याने सांगितले. विश्वासंबंधी माहिती
देणारा आर्यभट याने स्वत:बद्दल एका अक्षरही लिहून ठेवले नाही. डॉ. भाऊ दाजी लाड
यांनी जंग जंग पछाडून ‘आर्यभटीय’ या ग्रंथाचा शोध लावला आणि डॉ.केर्न यांनी १८७५
मध्ये हॉलंडमध्ये प्रकाशित केला. मात्र आर्यभट याचा दुसरा ग्रंथ ‘ तंत्र’ हा मात्र मिळाला नाही हे दुर्दैव! मानवीय ज्ञानाच्या क्रांतीतील दोन
महत्त्वाचे शोध म्हणजे
१)पृथ्वी स्वत:च्या अक्षाभोवती फिरत असते आणि २)
पृथ्वी आणि इतर ग्रह हे सूर्याभोवती फिरतात. या दोन महत्त्वाच्या मुद्यावरून
ज्ञानाने प्रगती केली! आर्यभट हा पहिला आचार्य ज्याने आपल्या ‘ज्योतिषसिद्धांत’ या ग्रंथात अंकगणित, बीजगणित आणि रेखागणिताचे
प्रश्न दिले. वर्ग, वर्गक्षेत्र, घन, घनफळ, घनमूळ, वर्गमूळ,
त्रिकोण, वृत्तचित्ती
वर्तुळ अशी अनेक सूत्रे आणि नियम त्याने दिले
आहेत. त्याने ० अंशापासून ९० अंशापर्यंतचे भूज-ज्या ( SINE
TABLE) दिले आहे!
त्यानंतर येतो वराहमिहिर! त्याच्या आसपास
प्रद्युम्न हाही गणिती होता. त्याशिवाय लाटदेव, नि:शंक, विजयनंदिन,
सिंह, पांडुरंग हेही महत्त्वाचे गणिती होऊन
गेले. वराहमिहीर याचे ‘पंचसिद्धांतिका’
‘सिद्धांतपंचक’ असे ग्रंथ प्रसिद्ध आहेत.
फलज्योतिष छंद सोडून त्याने जर पदार्थाच्या गुणधर्माचाच अभ्यास केला असता
तर वराहमिहीर हा जगातील पहिला पदार्थ वैज्ञानिक ठरला असता. भारताने विज्ञानात युरोपला मागे टाकले
असते. गुरुत्वाकर्षणाच्या अस्तित्वाची
जाणीव त्यानेच प्रथम करून दिली! असे त्याच्याबद्दल खूप सांगता येईल.
‘आर्यभट याच्या सर्व सिद्धांताचे खंडन करणारा
बंडखोर गणिती’ अशी प्रसिद्धी मिळविण्याचा ध्यास घेणारा ब्रह्मगुप्त हा आर्यभटचा
टीकाकार. त्याने तीन ग्रंथ लिहिले १) ब्रह्मस्फुट सिद्धांत २) खंड- खाद्यक ३)
उत्तर खंड-खाद्यक . या ग्रंथात आधीचा काही ग्रंथांवर टीका आहे अंकगणित, बीजगणित यावरही टीका आहे. अकराव्या अध्यायात त्याने इतकी दूषणे दिली आहेत
की त्याला ‘दूषणाध्याय ‘ असेच म्हणावे लागेल.
भास्कर (प्रथम), लल्ल,
पद्मनाथ, श्रीधर, माधव, मुंजल आणि शतानंद असे आणखीन काही गणिती होऊन गेले. त्यांचे नाव आपण जरी
ऐकले नसतील तरी प्रत्येकाने आपापल्या परीने गणितात मोलाची भर घातली आहे.
द्वितीय आर्यभट याचे ‘कटपयादि’ सूत्र प्रसिद्ध
आहे. त्याने एकच ग्रंथ लिहिला. या ग्रंथात पाटी – गणित किंवा अंकगणित आहे.
त्यासाठी त्याने दशमान पद्धती आणि ० ते ९ आणि १० असे अंक वापरले आहेत.
‘लीलावती’ हा ग्रंथ
लिहिणारे गणिती भास्कर द्वितीय किंवा भास्कराचार्य म्हणून प्रसिद्ध आहेत. वरील
सर्व उल्लेखित ग्रंथाचा एक विशेष असा सांगता येईल की या ग्रंथांत गणित आणि काव्य
हे हातात हात घालूनच आले आहेत. संख्या संकेत हा भास्कराचार्य यांचा विशेष होता.’
सिद्धांत शिरोमणी’
हा त्यांचा पहिला ग्रंथ. या ग्रंथावर अनेक टीका उपलब्ध आहेत. ‘करणकुतूहल’
हा त्यांचा दुसरा ग्रंथ. आणि जगप्रसिद्ध असलेला ‘लीलावती’ हा त्यांचा तिसरा ग्रंथ!
‘लीलावती’
या ग्रंथात अंकगणित, क्षेत्रमापन, घनमापनश्रेढी,
अंकपाश, पाक्षिक आणि सर्वांशिक विपर्यय हे विषय आहेत. लीलावती ही त्यांची लाडकी कन्या. यासंबंधी कथा
अशी की, भास्कराचार्य हे गणिती होते तसेच ते ज्योतिषीही होते
आणि आपली कन्या विवाहानंतर विधवा होणार हे त्यांना कळले होते म्हणून त्यांनी असा
मुहूर्त काढला की ज्यावर विवाह झाला असता तिला सौभाग्य लाभेल पण नियती अशी की
तिच्या मस्तकावर पडलेल्या अक्षता ओघळून घटिकापात्रात पडल्या आणि ते घटिकापात्र दोन
पळेआधीच बुडाले आणि नेमका तो क्षण तिचा वैधव्याचा मुहूर्त होता आणि खरोखरीच
लीलावती वर्षभरात विधवा झाली! या लाडक्या आणि दुर्दैवी कन्येसाठी त्यांनी ग्रंथाला
‘लीलावती’ हे नाव दिले. गणिताच्या इतिहासात आपल्याबरोबर तिलाही त्यांनी स्थान
दिले. ‘लीलावती’तील सर्व विषयांचा उल्लेख करणे शक्य नाही पण अनेक विषय त्यात आहेत.
त्याच्यावर अनेक टीकाही उपलब्ध आहेत. भास्कराचार्य उत्तम कवीही होते. पावसाळ्यात
राजहंस मानससरोवराकडे जातात ह्यावरून त्यांनी काव्यात एक गणित रचले, ‘सुवर्ण गणित’ यात त्यांनी सुवर्ण धातूबद्दल किती किती लिहिले आहे, शुद्धतेपासून किमतीपर्यंत! हिंदू धर्माच्या साऱ्या श्रद्धा आणि कल्पना
भास्कराचार्यांच्या गणितातून डोकावतात. ते दोन अर्थी काव्याची रचना करतात.
‘लीलावती’ हा गणिती ग्रंथ असला तरी ते एक श्रेष्ठ काव्यही
आहे!
बाराव्या शतकातच भारतातील गणिताला ओहोटी लागली.
नवीन गणित काही लिहिले गेले नाही. जे कोणी गणिती या काळात होते त्यांनी नवीन काही
न शोधता जुन्या ग्रंथांवर टीकाच लिहिली.यातील काही नावे अशी – महादेव पहिला, महेंद्रसुरी, दामोदर, गणेश
दैवज्ञ, नृसिंह धुंडिराज, कृपाराम, रंगनाथ, दिनकर, ज्ञानराज, सूर्य, अनंत प्रथम, महादेव
दुसरा, लक्ष्मीदास, कृष्ण दैवज्ञ, मुनीश्वर रंगनाथ, दिवाकर नृसिंह, कमलाकर, असे आणखीन काही!
असे असले तरी पुढच्या काळात काही जणांनी गणिताचा
झेंडा फडकवत ठेवला आहे. ते म्हणजे जयसिंह, चिंतामणी
दीक्षित (१७३६) नारायणदादा भातगावकर(१७३८) , विनायक उर्फ
केरो नाना छत्रे (१८२४) रघुनाथाचार्य चिंतामणी (१८२८) बापुदेव शास्त्री ( १८२९)
कृष्णशास्त्री गोडबोले( १८३१) मल्हार नारायणशास्त्री थत्ते ( १८४०) व्यंकटेश बापूजी
केतकर (१८५३) शंकर बाळकृष्ण दीक्षित(१८५३) विनायक पांडुरंग खानापूरकर ( १८५८)
सुधाकर कृपाल द्विवेदी (१८६०) शिवकर बापूजी तळपदे ( १८६४)
त्यानंतर THE GREAT श्रीनिवास
रामानुजन (१८८७)! त्यांची स्मरणशक्ती, बालपणापासून अभ्यासाचा
ध्यास गणिताचा नाद यातून त्यांनी पृथ्वीची लांबी रुंदी मोजली, परिघ मोजला! रामानुजन यांनी काय शोधले यासाठी हा ग्रंथ मुळात वाचायला हवा
..
लोकमान्य टिळक हेही गणितीच होते! ‘ वेदिक
क्रोनोलोजी अॅंड वेदांग ज्योतिष’ हा त्यांचा ग्रंथ त्यांच्या
मृत्युनंतर प्रसिद्ध झाला. ‘ओरायन’ हा
त्यांचा ग्रंथ, ओरायन हे तारकापुंजाचे नाव आणि मृगशीर्ष पुंजाच्या अग्रायण या नावावरून ओरायन आले आहे. अखेरीस डॉ.
जयंत नारळीकर यांच्या विश्व उत्पत्तीच्या संशोधनाची माहिती आणि नारळीकरांचे गणितातील योगदान याचा आहे!
हुश्श .. हा अत्यंत त्रोटक परिचय आहे ... कदाचित
वाचूनही दमला असाल .. पण हे वाचून वाचकांत उत्सुकता निर्माण झाली तर मला आनंद
वाटेल!
शेवटचे एक भरतवाक्य.. पृथ्वीवरील एकूण वाळूच्या
सर्व कणांची मोजदाद करता येईल, असे लेखक म्हणतात!!! ८४ चा २८ घात म्हणजे १६४ अंकी
संख्या तिचा शीर्षप्रहेलिका असा उल्लेख आहे !
